常用不等式 pdf_常用不等式的应用与解析

**标题：常用不等式简介**

常用不等式在数学的多个领域有着广泛应用。

首先是基本不等式，对于正实数a、b，有\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。它在求最值问题中经常出现，例如求面积一定时矩形周长的最小值等。

还有绝对值不等式\(\vert a + b\vert \leq \vert a\vert+\vert b\vert\)，这个不等式有助于处理含有绝对值的运算与证明。

柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)在向量、函数最值等方面发挥重要作用。这些常用不等式是数学分析、代数等学科的重要工具，理解并熟练运用它们，能解决众多复杂的数学问题，在理论研究和实际应用中都具有不可替代的地位。

常用不等式有哪些

《常用不等式》

在数学中，有许多常用的不等式。

首先是基本不等式，对于正实数a、b，有\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立，它在求最值等问题中有广泛应用。

绝对值不等式\(\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)。这个不等式在分析含有绝对值的式子的取值范围时非常重要。

还有柯西不等式\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)，在解决向量、函数等多方面的最值、关系证明等问题上起着关键作用。这些常用不等式是解决数学问题的有力工具。

常用不等式链

《常用不等式链》

在数学中，有一些常用的不等式链。其中比较著名的是基本不等式链：对于正数\(a\)、\(b\)，有\(2 / (1 / a+1 / b)≤\sqrt{ab}≤(a + b)/2≤\sqrt{(a² + b²)/2}\)。

左边的\(2 / (1 / a+1 / b)\)是调和平均数，它在数值上相对较小。\(\sqrt{ab}\)为几何平均数，体现了\(a\)和\(b\)乘积的一种平均关系。\((a + b)/2\)是算术平均数，最为常见。而\(\sqrt{(a² + b²)/2}\)是平方平均数，数值相对较大。

这个不等式链在解决最值问题、证明不等式等方面有着广泛的应用。例如在求一些函数的最值时，根据已知条件合理选择不等式链中的某个不等式进行推导，能快速得出结果，是数学分析中的有力工具。

常用不等式放缩公式

# 常用不等式放缩公式

在数学中，不等式放缩是一种重要的技巧。

**一、均值不等式**
对于正实数\(a\)、\(b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。例如，当求\(x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）的最小值时，根据均值不等式可得\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)。

**二、绝对值不等式**
\(\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)。在求解含有绝对值的不等式范围或者证明一些与绝对值有关的式子时经常用到。例如，已知\(\vert x - 1\vert<1\)，求\(\vert x\vert\)的范围，利用\(\vert x\vert=\vert(x - 1)+1\vert\leqslant\vert x - 1\vert+ 1\)，由\(\vert x - 1\vert<1\)可得\(\vert x\vert<2\)。这些不等式放缩公式为解决众多数学问题提供了有力工具。