常用不等式 pdf_常用不等式的解析与推导

**标题：常用不等式简介**

常用不等式在数学的众多领域都有着关键的应用。

最基本的当属均值不等式，对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。它在求最值等问题中经常被用到，例如在周长固定的情况下求矩形面积的最大值。

还有柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)，在向量、函数等方面都有体现。它可以用来证明一些不等式关系，或者解决多元函数的极值问题。

三角不等式\(\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)在分析学中是重要的工具，用来估计和界定一些表达式的取值范围等。这些常用不等式是数学学习和研究的重要基石。

高数常用不等式

《高数常用不等式》

在高等数学中，有一些常用不等式起着关键作用。

均值不等式是重要的一个，对于正实数\(a\)，\(b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立，它在求最值等问题中有广泛应用。

柯西不等式也很常用，\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)。在向量、积分等领域都能体现其价值。

还有三角不等式，\(\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)，在处理绝对值相关的极限、积分问题时常常会用到。这些不等式是高数学习的重要工具，帮助我们解决各类复杂的数学分析问题，是深入理解高数概念和解题方法的基石。

常用不等式 pdf

# 常用不等式

**一、均值不等式**

对于正实数 \(a,b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)，当且仅当 \(a = b\)时等号成立。它在求最值等问题中有广泛应用，例如已知 \(x>0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值，根据均值不等式\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)。

**二、柯西不等式**

设\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)与\(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\)为实数，则\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots + b_{n}^{2})\geqslant(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)，等号成立的充要条件是\(\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\cdots=\frac{a_{n}}{b_{n}}\)（当\(b_{i}\neq0\)）。柯西不等式在向量、几何等方面有诸多应用。

这些常用不等式在数学分析、优化问题等众多领域发挥着不可替代的作用。

常用不等式放缩公式

《常用不等式放缩公式》

在数学中，不等式放缩有着重要意义。

一、均值不等式
对于正实数a、b，有$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$。当且仅当a = b时等号成立。这可用于放缩求解最值问题，如求$x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值，利用均值不等式可知其最小值为2。

二、绝对值不等式
$\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。在处理含有绝对值的式子时，通过这个不等式进行合理放缩。例如，若要证明$\vert x + y\vert \leq 5$，可根据已知条件对$\vert x\vert$和$\vert y\vert$先进行放缩估计，再利用绝对值不等式得出结论。这些常用不等式放缩公式是解决许多数学问题的有力工具。